46. Уравнения высших порядков. Общие сведения

Напомним, что дифференциальным уравнением Го порядка мы назвали уравнение (5.1), то есть уравнение вида

.

Если это уравнение удаётся представить в виде

, (5.20)

То его называют дифференциальным уравнением Го порядка, разрешённым относительно старшей производной.

Решением уравнения Го порядка будет семейство функций вида . Для того, чтобы из этого семейства выделить конкретное решение, нужно на решение наложить некоторые ограничения.

Чаще всего задают начальные условия, то есть условия вида

(5.21)

В этом случае задача о выделении конкретного решения носит название Задачи Коши, которая заключается в нахождении решения уравнения (5.20), удовлетворяющего начальным условиям (5.21).

Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет условию Липшица по переменным в области , если для любых двух точек из этой области выполнено неравенство

,

Где - некоторая константа, не зависящая от И.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условиям Липшица по переменным , то найдётся окрестность точки , в которой решение уравнения (5.20), удовлетворяющее начальным условиям (5.21), существует и единственно.

Множество назовём выпуклым по, если для всяких двух точек из этому множеству принадлежат и точки отрезка их соединяющего, то есть точки вида , где - числа, лежащие между и , .

Отметим, что если непрерывная на множестве функция имеет там же непрерывные частные производные , множество - ограничено, замкнуто и выпукло по , то эта функция удовлетворяет на множестве условию Липшица по . Действительно, по теореме Лагранжа о конечных приращениях, можем записать

.

Поэтому в теореме существования и единственности для уравнения - го порядка, вместо требования выполнения условия Липшица по , часто требуют, чтобы функция имела непрерывные частные производные по переменным.

Теорема существования и единственности гарантирует, что при выполнении её условий через точку проходит только одно решение этого уравнения. Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через неё может проходить больше, чем одно решение (нарушается единственность), либо не проходить ни одного решения (нарушается существование).

В отличие от уравнений первого порядка, для уравнений порядка , кроме постановки задачи Коши, возможны другие постановки задач о выделении решений. Рассмотрим некоторые из них.

Многоточечная задача. Возьмем точки . Положим . Требуется найти решение уравнения (5.1) , удовлетворяющее условиям

. (5.22)

Краевая задача. Для уравнения второго порядка можно поставить задачу о нахождении решения уравнения , удовлетворяющего условиям

(5.23)

Для поставленных задач можно сформулировать и доказать свои теоремы существования, единственности и другие результаты подобного типа о выделении конкретных решений. В частности, весьма интересной является задача Штурма-Лиувилля для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями, которая подробно рассматривается при разложении функций в обобщённый ряд Фурье по ортогональным системам функций.

Всюду ниже мы подробно рассмотрим задачу Коши.

Определение. Общим решением уравнения (5.20) назовём его решение , содержащее постоянных, которые можно подобрать так, чтобы удовлетворить любой, заранее выбранный набор начальных условий (5.21).

< Предыдущая		Следующая >