Вариант № 09

1. Найти область определения функции и изобразить её на плоскости: .

Для заданной функции область определяется следующим неравенством: или . Это неравенство определяет область, расположенную ниже линии параболы , причём сама линия параболы входит в указанную область (см. рисунок).

Ответ: .

2. Вычислить частные производные и сложной функции в данной точке: при .

Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам и . В данном случае . Следовательно, ,

. Заметим, что в точке промежуточные переменные равны: . Подставляя в частные производные , получим: , . Ответ: , .

3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке имеют следующие уравнения: а) (касательная плоскость): (нормаль). В данном случае . Найдём частные производные от в точке : . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали: , . Или , . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: .

Стационарная точка является точкой минимума, . На границе области D , , функция имеет вид . Тогда . Приравнивая производную к нулю, получим четыре стационарные точки

. Стационарные точки расположены в верхней полуокружности, т. е. , точки - в нижней части, т. е. . В этих точках функция соответственно равна: . Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение функция принимает в точках , а наименьшее значение - в точке . Ответ: наибольшее значение функции - в точках , наименьшее значение - в точке .

5. Изменить порядок интегрирования: .

Восстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: , . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения окружности и параболы : . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на горизонтальную. Из рисунка видим, что данная область является X – трапецией. На левой границе , на правой границе . Поэтому и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл: . Ответ: .

6. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная двумя параболами с общей вершиной в точке и прямой . Снизу тело ограничено плоскостью , сверху – плоскостью (см. рисунки). Таким образом,

. Ответ: .

7. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Исключая Z, найдём проекцию тела на плоскость XOY: . Сверху тело ограничено поверхностью параболоида вращения, а снизу – плоскостью . Удобно перейти к цилиндрическим координатам: . Уравнением окружности будет , уравнением параболоида будет , уравнением плоскости будет . Область интегрирования будет область . Следовательно, . Ответ: .

8. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Тело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 2 и 8, конусом (сверху), и двумя плоскостями и . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет , а на плоскости будет или . Уравнение конуса переходит в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: .

9. Найти массу пластинки:

Пластинка занимает область D, изображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда . Ответ: .

10. Найти массу тела: .

Коническая поверхность пересекается с поверхностью параболоида на высоте (см. рисунок). Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или . Ответ: .

11. Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .

Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . Действительно, в эллиптических координатах якобиан преобразования равен . Следовательно, . Ответ: .

12. Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :

.

Массу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где . Следовательно,

. Ответ: .

13. Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: .

Работу вычисляем по формуле: . Линия находится в пересечении цилиндрической поверхности и плоскости (см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра T, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда

. Ответ: Работа равна .

14. Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : .

Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке: .

Следовательно, . Найдём координаты вектора , где :

. Таким образом, . Найдём единичный вектор нормали : . Так как вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: . Ответ:

15. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М: .

Наибольшую скорость характеризует градиент поля: .

Вычислим координаты градиента: , , . Таким образом, .

Величина скорости есть модуль градиегнта: .

Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна .

16. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : .

По заданному скалярному полю построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем: . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка:

. Для поля градиентов :

.

Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля :

. Или . Отсюда следует: . Умножим второе уравнение на -2 и сложим с первым: . Из равенства следует . Исключим отсюда , пользуясь первым полученным интегралом: . Или . Это уравнение, приводящееся к однородному. Положим , где . Тогда . Это однородное уравнение: . Или . Делая обратные замены, получим: Или . Итак, уравнения векторных линийполя градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей: . Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: , где .

17. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): .

Запишем нормальный вектор плоскости: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда

18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением . Вычислить:

А) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);

В) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY ( воспользоваться формулой Стокса): .

Решение.

А) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.

С плоскостью XOY ; с плоскостью XOZ с плоскостью YOZ (см. рисунок, рассматриваются линии только в первом октанте). Поток поля через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:

. Находим дивергенцию: . Тогда

..

В) Циркуляцию поля вектора вдоль линии вычислим по формуле Стокса: . Вычислим ротор данного поля:

. Найдём вектор : (это внешняя нормаль). Вычислим скалярное произведение: . Таким образом, циркуляция векторного поля равна:

. Ответ: .

27. Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В: .

Вычислим ротор вектора :

. Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: (за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки: .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >