Вариант № 05
В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.
1. 
. Уравнение является однородным. Сделаем замену 
Тогда 
. Получим уравнение 
, или 
. Разделяем переменные:
. Интегрируем уравнение: 
. Получим:
. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: 
. Умножим равенство на X2 : 
. Определим постоянную С из начальных условий: 
, отсюда C=−1. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: 
. Ответ: 
.
2. 
. Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями 
и 
или 
. Решим первое уравнение: 
или 
. Отсюда 
(произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: 
. Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: 
или 
. Тогда
. Таким образом, общее решение имеет вид: 
. Найдём C, исходя из начальных условий: 
. Тогда 
. Таким образом, частное решение есть 
. Ответ: 
.
3. 
. Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: 
или 
. Отсюда находим 
. Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет
такую же структуру, но C=C(X), т. е. 
, где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём 
.
Тогда 
. Или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение: 
. Вычислим интегралы: 
, 
. Следовательно, 
или 
. Общие решение уравнения 
. Воспользуемся начальными условиями: 
, т. е. C1=-1. Тогда частным решением будет 
. Ответ: .
4. 
.
Найдём частные производные:
, 
. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что
и 
. Проинтегрируем первое уравнение по X:
. Таким образом, 
, где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны
. С другой стороны, 
. Приравнивая эти выражения, получим: 
. Отсюда, 
. Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае 
. Ответ: .
5. 
Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену 
. Тогда 
. Получим линейное уравнение первого порядка: 
. Решаем сначала однородное уравнение: 
. Далее решаем непднородное уравнение методом вариации произвольной постоянной: 
. Таким образом, 
. Определим постоянную C3, пользуясь начальным условием 
: 
. Следовательно, 
. Тогда 
. Определим C4, пользуясь вторым начальным условием 
: 
. Окончательно, 
.
Ответ: .
6. 
Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: 
. Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: 
, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: 
. Складывая второе уравнение с первым: получим: 
. Интегрируя, получаем: 
. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет 
или 
. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2 =С4. Окончательно, 
.
Ответ: .
7. 
. Линейное неоднородное уравнение третьего порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет три корня: 
. Получаем три частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение:
. Отсюда находим 
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Ответ: .
8. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим 
или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Воспользуемся начальными условиями: 
. По первому условию 
. Найдём 
. Тогда, по второму условию, 
. Решая систему 
, находим: 
. Частное решение уравнения будет 
. Ответ: .
9. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн::, 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Ответ: .
10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами 
, где 
- функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях 
:
.
Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде 
. Тогда 
. Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты 
: 
. Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: 
. Раскроем определитель: 
. Или 
. Следовательно, 
. При 
получим систему: 
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили первое частное решение: 
. При 
получим систему: 
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили второе частное решение: 
.
При 
получим систему: 
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили третье частное решение: 
. Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: 
.
Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: 
. Вычтем из второго уравнения первое уравнение, получим 
. Подставим С2 в третье уравнение. Получим: 
. Следовательно, 
. Таким образом, частное решение системы следующее: 
. Ответ: .
11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку 
и обладающей свойством, что расстояние от начала координат до любой её касательной равно абсциссе точки касания.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид 
или 
. Приведём это уравнение к нормальной форме. Нормирующий множитель равен: 
. Следовательно, 
. В нормальном уравнении величина 
есть расстояние от начала координат до прямой. По условию задачи, 
. Тогда 
.
Или 
. Условие должно выполняться для любой точки линии. Поэтому сделаем замену 
. Получим уравнение: 
. Это однородное уравнение первого порядка. Положим 
. Тогда 
или 
. Разделяем переменные и интегрируем: 
. Найдём произвольную постоянную из условия 
: 
. Тогда искомое уравнение запишется так: 
. Ответ: .
12. Цилиндрический чурбан радиусом 3 м и весом 81 кг стоит вертикально в воде. Вес 1 м2 воды равен 1т. Найдите период колебания, которое получится, если немного приподнять чурбан, а затем отпустить его.
Пусть X(T) – глубина погружения чурбана (по нижнему основанию). На чурбан действуют силы: его вес 
и выталкивающее действие воды 
, где М – вес вытесненной воды (в килограммах): 
. По второму закону Ньютона 
. Получили уравнение 
или 
. Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Решением однородного уравнения будет функция 
. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде 
. Тогда 
. Подставляя это в уравнение, получим: 
. Или 
. Получили общее решение: 
. При T=0 скорость равна нулю 
, т. е. 
. Таким образом, колебания чурбана описываются уравнением 
. Найдём период колебаний из условия 
(период косинуса). Получим: 
. Вычисляя, получим 
Ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|