Вариант № 10
В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.
1. 
. Уравнение является однородным. Сделаем замену 
Тогда 
. Получим уравнение 
, или 
, или 
. Разделяем переменные:
. Интегрируем уравнение: 
. Получим:
. Потенцируем выражение: 
. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: 
или 
. Определим постоянную С из начальных условий: 
. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: 
, или 
, или 
. Преобразуя, получим: 
Ответ: 
.
2. 
. Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями 
и 
. Решим первое уравнение: 
или 
. Отсюда 
(произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: 
. Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: 
или 
. Тогда 
. Таким образом, общее решение имеет вид: 
. Найдём C, исходя из начальных условий: 
. Тогда 
. Таким образом, частное решение есть 
. Ответ: 
.
3. 
. Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: 
или 
. Отсюда находим 
. Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет
такую же структуру, но C=C(X), т. е. 
, где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём 
.
Тогда 
. Или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение:
. Следовательно, 
. Общие решение уравнения 
или 
. Воспользуемся начальными условиями: 
, т. е. C1=−1. Тогда частным решением будет 
.
Ответ: .
4. 
.
Найдём частные производные: 
, 
. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что 
и 
. Проинтегрируем первое уравнение по X: 
. Таким образом, 
, где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны 
. С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: 
. Отсюда, 
. Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае 
или 
. Ответ: .
5. 
Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену 
. Тогда 
. Получим линейное уравнение первого порядка: 
:. Решим его методом Бернулли: 
. Функцию U найдём из уравнения 
(решение 
для неоднородного уравнения не подходит). Или 
. Функцию V найдём из уравнения 
. Подставляя сюда функцию U, получим: 
. Таким образом, 
. Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием 
: 
. Следовательно, 
. Тогда 
. Определим C2, пользуясь вторым начальным условием 
: 
. Окончательно, 
или 
, так как косинус гиперболический является чётной функцией. Ответ: 
.
6. 
Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два равных корня: 
. Получаем два частных решений: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: 
. Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:
, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: 
. Поделим все уравнения на 
: 
. Решим систему методом Крамера:
. Интегрируя, получаем: 
. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет 
. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С3=С1 и С4=С2. Окончательно, 
.
Ответ: .
7. 
. Линейное неоднородное уравнение шестого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет пять корней: 
. Получаем пять частных решений: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим 
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
.
Ответ: .
8. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение: 
. Отсюда находим 
Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Воспользуемся начальными условиями: 
. По первому условию 
. Найдём 
. Тогда, по второму условию, 
, тогда 
. Частное решение уравнения будет 
. Ответ: .
9. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн::
.
. Подставим это в исходное уравнение:
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: 
. Решая систему, находим: 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
.
Ответ: .
10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами 
, где 
- функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях 
:
.
Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде 
. Тогда 
. Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты 
: 
. Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: 
. Раскроем определитель: 
. Или 
. Следовательно, 
. При 
получим систему: 
. Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим 
или 
. Положим 
. Тогда 
и 
. Получили первое частное решение: 
. При 
получим систему: 
. Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Решая систему, получим: 
, 
. Получили второе частное решение: 
.
При 
получим систему: 
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим . Тогда 
. Получили третье частное решение: 
. Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: 
.
Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: 
. Умножим первое уравнение на 2 и сложим с третьим. Получим: 
. Следовательно, 
. Таким образом, частное решение системы следующее: 
. Ответ: .
11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(-1; -1) и обладающей свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОХ касательной, проведённой к любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид 
. Найдём точки пересечения касательной с осью ОХ. Положим Y=0. Тогда 
или 
. Точка М1 
является точкой пересечения оси ОХ. По условию задачи 
. Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой 
, лежащей на кривой . Получим: 
, или 
, или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем: 
или 
. Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(-1, -1): 
Решение 
при 
не существует. Таким образом, 
. Ответ: .
13. В культуре бактерий быстрота их прироста пропорциональна наличному количеству бактерий. Известно, что в течении 1 часа их количество удвоилось. Определите, во сколько раз оно увеличится через 2,5 часа.
Пусть количество бактерий к моменту времени T равно V(T). Тогда, по условию задачи, 
, где K – некоторый коэффициент. Решим уравнение: 
Пусть в момент 
количество бактерий было равно V0. Тогда 
. Известно, что за 1 час количество удвоилось, т. е. 
. Отсюда находим: 
. Тогда 
. Через 2, 5 часа количество бактерий будет равно 
. Следовательно, 
. Ответ: в 
раза.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|