Вариант № 02
В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.
1. 
. Уравнение является однородным. Сделаем замену 
Тогда 
. Получим уравнение 
, или 
. Запишем уравнение в дифференциалах: 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение: 
. Получим: 
. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: 
. Определим постоянную С из начальных условий: 
, отсюда C=−3/2. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: 
. Ответ: .
2. 
. Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями 
и 
. Решим первое уравнение: 
или 
. Отсюда 
(произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: 
. Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: 
или
. Таким образом, общее решение имеет вид: 
. Найдём C, исходя из начальных условий: 
. Таким образом, частное решение есть 
. Ответ: 
.
3. 
. Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: 
или 
. Потенцируя, находим: 
. Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет
такую же структуру, но C=C(X), т. е. 
, где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём 
. Тогда 
. Или 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение: 
. Следовательно, 
или 
. Общие решение уравнения 
. Воспользуемся начальными условиями: 
, т. е. C1=−2. Тогда частным решением будет 
. Ответ: .
4. 
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Действительно, 
. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что 
и 
. Проинтегрируем второе уравнение по Y:
, где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны 
. С другой стороны, 
. Приравнивая эти выражения, получим: 
. Отсюда, 
. Следовательно, 
Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае 
Ответ: 
5. 
Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену 
. Тогда 
. Получим однородное уравнение первого порядка: 
Сделаем подстановку: 
. Тогда 
Отсюда следует, что 
является частным решением исходного уравнения. Исключаем его из дальнейшего рассмотрения: 
Или 
Интегрируем: 
или 
. Вернёмся к переменной P: 
. Из начальных условий следует, что 
и 
при 
. Подставляя это в полученное равенство, находим 
. Тогда 
или 
. Решение 
не удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, 
. Подставляя сюда начальные условия, находим 
. Окончательно, 
. Ответ: .
6. 
Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решений: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: 
. Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:
, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: 
. Оба уравнения сократим на 
: 
. Из первого уравнения 
. Подставим это во второе уравнение: 
или 
. Отсюда 
, т. е. 
или 
. Далее, 
. Интегрируя, получаем: 
. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет 
. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С4=С1 и С3 =С2. Окончательно, 
. Ответ: .
7. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное
решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение:
. Отсюда находим 
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Ответ: .
8. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет два корня: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R1=−1 имеет кратность 1. Значение этого корня совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=−1). Найдём производные YЧн:: 
. Подставим это в исходное уравнение:
. Отсюда находим 
. Или 
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
. Воспользуемся начальными условиями: 
. По первому условию 
. Найдём 
. Тогда, по второму условию, 
. Решая систему 
, находим: 
. Частное решение уравнения будет 
. Или 
.
Ответ: .
9. 
. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения 
Характеристическое уравнение 
имеет один корень кратности 2: 
. Получаем два частных решения: 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: 
. Найдём производные YЧн::
. Подставим это в исходное уравнение:
. Сокращая на 
и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: Отсюда находим 
. Или
. Следовательно, 
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 
.
Ответ: .
10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами 
, где 
- функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях 
:
.
Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде 
. Тогда 
. Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты 
: 
. Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: 
. Раскроим определитель: 
. Или 
. Следовательно, 
. При 
получим систему: 
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили первое частное решение: 
. При 
получим систему: 
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим 
. Тогда 
. Получили второе частное решение: 
.
При 
получим систему: 
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим 
. Положим . Тогда 
. Получили третье частное решение: 
. Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: 
.
Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: 
. Складывая первое уравнение со вторым и первое уравнение с третьим, получим: 
. Следовательно, 
. Таким образом, частное решение системы следующее: 
.
Ответ: .
11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(1; 2) и обладающей свойством, что отрезок любой её касательной, заключённой между осями координат, делится в точке касания в отношении 2:3, считая от оси ординат.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид 
. Найдём точки пересечения касательной с осями координат. Положим Y=0. Тогда 
или 
. Точка М1
является точкой пересечения оси ОХ. Положим X=0. Тогда 
или 
. Точка М2
является точкой пересечения оси ОУ. По условию задачи 
, т. е. 
. Или 
. Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой 
, лежащей на кривой . Получим: 
, или 
, или 
. Разрешим уравнение относительно 
: 
. Получаем два уравнения: 
и 
. Второе уравнение не имеет действительных решений. Рассмотрим первое: 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем: 
или 
. Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(1, 2): 
. Таким образом, 
или 
. Кривые 
и 
удовлетворяют условию задачи. Первая кривая соответствует внешнему делению отрезка, а вторая – внутреннему делению. Повидимому в задаче предполагается внутреннее деление. Ответ: .
12. По закону Торричелли скорость истечения жидкости равна 
, где X – высота уровня жидкости над отверстием. Определить время полного истечения воды из цилиндрического бака высотой H=6м, диаметром 2L=4м с горизонтальной через круглое отверстие в нижней части бака диаметром 2R=1/6м.
Обозначим через Y(T) объём жидкости в баке в момент времени T. Очевидно, что 
, где X=X(T) – высота уровня жидкости в баке в момент времени T. Тогда 
. Сечение круглого отверстия в дне равно 
. Следовательно, скорость уменьшения объёма жидкости будет равна 
. Таким образом, 
, или 
. Найдём 
: 
. С другой стороны 
(см. рисунок – сечение бака). Тогда 
(по правилу 
Дифференцирования интеграла). Подставляя это в предыдущее 
Уравнение, получим: 
. Разделяем переменные: 
. Интегрируем уравнение: 
. Рассмотрим левый интеграл: 
. Таким образом, 
. Подставляя сюда начальное условие 
, получим: 
, 
. По истечению всей жидкости получим . Следовательно, 
. Подставляя сюда все числовые данные и делая вычисления, получим: 
мин (секунды были переведены в минуты).
Ответ: 
Мин.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|