16. Тема 13. Вариационное исчисление

1. Задача о наименьшей площади поверхности вращения. Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих точки и , найти ту, которая при вращении вокруг оси абсцисс образует поверхность наименьшей площади.

Решение. Как известно, площадь вращения находится по формуле . Поставленная задача сводится к определению кривой , удовлетворяющей граничным условиям , ,
на которой достигается минимум функционала .

Составим уравнение Эйлера (Л13.12). Подынтегральная функция
не зависит от переменной T явно (пятый случай интегрируемости, см. Л13). Поэтому уравнение Эйлера имеет первый интеграл (Л13.16):

.

После упрощения получаем .

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Полагая , имеем ; ; .

Таким образом, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид

.

Исключая параметр , получаем — семейство цепных линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами.

Постоянные и находятся из граничных условий:

, .

В зависимости от положения точек A и B может существовать одно, два или не существовать ни одного решения.

2. Найти экстремаль функционала

,

Удовлетворяющую граничным условиям , .

Решение. Запишем уравнение Эйлера. Так как , , , , то получаем или .

Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является линейным
с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение . Его корни , — действительные, разные числа. Общее решение уравнения имеет вид

.

Определим коэффициенты и из граничных условий:

Отсюда . В результате получаем экстремаль .

3. Найти экстремум функционала

.

Решение. Экстремаль для этого функционала найдена в задаче 2: . Проверим достаточные условия сильного экстремума.

Для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (Л13.17). Так как , , , , то уравнение имеет вид . Отсюда и — общее решение этого линейного дифференциального уравнения. Из условия
получаем и . Так как нетривиальное решение (при ) уравнения Якоби не равно нулю, т. е. при , то условие Якоби выполняется.

Так как функция трижды дифференцируема по ,
то применим условие Лежандра. Поскольку при любых ,
то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, что на этой же кривой достигается и слабый минимум.

Задачи для самостоятельного решения по теме 13

1. Найти экстремаль функционала

,

Удовлетворяющую граничным условиям , .

2*. Найти экстремум функционала

< Предыдущая