5.3. Элементы математической статистики

Печать

Перед тем как приступить к решению второй половины третьей задачи, следует изучить такие понятия, как: выборка, случайные числа; случайные числа распределенные по определенному закону; эмпирические (экспериментальные) ряд и функция распределения; оценки параметров распределения; метод жребия моделирования дискретной величины; критерии Пирсона оценки достоверности гипотезы; доверительные вероятности и интервалы. Следует разобрать примеры 5.10, 5.11.

Коротко рассмотрим, в чем заключается метод жребия моделирования дискретной случайной величины. Пусть событие А может произойти с вероятностью Р, и пусть очередное значение случайного числа – Ri (случайное число – значение непрерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0,1]). Если Ri £ Р , то оно принадлежит интервалу , поэтому считаем, что событие А наступило. Если Ri>Р, то считается, что событие А не наступило.

Поскольку значения случайной величины ни что иное как случайные события, процедура моделирования дискретной случайной величины с заданным законом распределения аналогична моделированию случайного события.

Пусть дискретная случайная величина задана теоретическим рядом распределения.

H

Х1

Х2

Х3

ХN

Pi

Р(Х1)

Р(Х2)

Р(Х3)

Р(ХN)

Присваиваем случайной величине h значение Х1, если значение случайного числа Ri£P(Х1), значение Х2, если P(Х1)<Ri£P(Х1)+P(Х2), т. е. в общем случае, если , то случайной величине h присваивается значение ХM.

Пример 5.10. Дискретная случайная величина задана рядом распределения, приведенным в табл. 5.3.

Таблица 5.3

ХI

0

5

10

15

Pi

0.6189

0.0896

0.2547

0.0368

1. Построить модель этой случайной величины для партии из 25 приборов (методом жребия получить её 25 значений); найти экспериментальные ряд и функцию распределения, построить их графики.

2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому при уровнях значимости a1=0.01, a2= 0.05.

Решение. 1. Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел Rj, т. е. значений случайной величины равномерно распределенной в интервале . Эти значения приведены в табл. Д Приложения. Моделируемые значения случайной величины обозначим Zj (= 1, 2, …, 25). Заметим, что каждое из них следует рассматривать как случайную величину.

Для рассматриваемой случайной величины правило моделирования заключается в том, чтобы определить какое значение будет принимать случайная величина в зависимости от попадания случайного числа в интервал.

H примет значение:

0, если Rj £ 0.6189,

5, если 0.6189< RJ£ 0.7085,

10, если 0.7085< Rj£ 0.9631,

15, если Ri> 0.9631.

Для удобства использования правило можно свести в табл. 5.4 или изобразить на рис. 5.7.

Таблица 5. 4