2.1. Описание случайных величин. Определение и способы задания случайной величины

Печать

Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

1) число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

2) число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение. Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется Законом распределения случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами x, h, q, а их возможные значения – латинскими буквами с индексами Xi, Yi, Zi.

Пример 2.1. Обозначим буквой x число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величина x может принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событий в этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

*={ω1= ГГГ, ω2= ГГЦ, ω3= ГЦГ, ω4= ЦГГ, ω5= ГЦЦ, ω6= ЦГЦ, ω7= ЦЦГ, ω8= ЦЦЦ},

Где Г Обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, а Ц – Выпадение цифры.

Обозначим через АI Событие, в котором при подбрасывании монеты появились I Гербов ( I=0,1,2,3). Каждое событие АI является составным событием и содержит все элементарные события ωi, которые привели к появлению I Гербов:

АI={}.

Следовательно,

A0={}={ЦЦЦ}, A1={}={ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ},

A2={}={ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, A3={}={ЦЦЦ}.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ωI Равна **=. Из классического определения вероятности события Ai имеют вероятности, равные

P0 =P(A0)= P{ЦЦЦ}=, P1=P(A1)=P{ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ} = ,

P2=P(A2)=P{ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ}=, p3=P(A3)=P{ЦЦЦ}= .

Отметим, что все события Ai несовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий , т. е.

W = A0+A1+A2+A3.

Из аксиом вероятности следует равенство

Р( W ) = р(A0+A1+A2+A3) = P(A0)+ p(A1)+ p(A2)+ p(A3)=1.

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей :

ξ

0

1

2

3

Пример 2.2. Производится один выстрел по плоской круглой мишени радиуса R. Учитываются только выстрелы, которые приводят к попаданию в мишень. В качестве случайной величины рассмотрим расстояние x от точки попадания до центра мишени. Тогда множество возможных значений случайной величины образует числовой интервал [0, R]. Предположим, что любая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Отсюда следует, что с одинаковой вероятностью случайная величина x принимает любое значение из интервала [0, R]. В этом случае вероятность того, что расстояние x не превзойдет числа X (0≤ X R), можно найти из геометрического определения вероятности по формуле R (x £ X)= X/R. Очевидно, что при X>R вероятность R(x £ X)=1, а при X<0 вероятность R(x £ X)=0.

Из приведенных примеров видно, что Случайной величиной является Функция F, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число ¦(W). Эти числа ¦(W) Называют возможными значениями случайной величины.

В зависимости от множества возможных значений случайной величины выделяют два типа случайных величин:

А) дискретная случайная величина – это величина, значения которой можно ( пересчитать ) перенумеровать;

Б) непрерывная случайная величина – это такая величина, значения которой заполняют целиком некоторый промежуток числовой оси или всю числовую ось.

Определение. Функция распределения F(X) случайной величины X определяется равенством

F (X) =P(w:¦ (w) £ x), (2.1)

Для всех действительных чисел X.

В примере 2.2 функция распределения определяется формулой

.