1.1.4. Сумма и произведение событий

Печать

Определение. Суммой (Объединением) Событий A и B называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначается A+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).

Например, для событий примера 1.6 суммой событий A и C Будет событие A+C ={w1 , w2 , w3 , w4 , w6}, а суммой событий A и B Будет событие A+B = {w1, w2, w3, w4, w5, w6}=W, т. е. достоверное событие.

Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.

Определение. Суммой (Объединением) Последовательности событий A1, A2, … An,.. называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из событий последовательности и обозначается .

Пусть событие A Состоит из благоприятствующих исходов .

Тогда событие A по определению суммы можно представить в виде

.

Определение. Произведением событий A и B Называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначается AB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).

Например, для событий примера 1.6 произведением событий A И C будет событие AC = {w1 ,W3}, а произведением событий A и B будет невозможное событие AB =Æ .

Определение. Произведением последовательности событий A1,A2,…An,.. называется событие, которое происходит при одновременном наступлении всех событий последовательности и обозначается .

Определение. Разность событий A и B происходит, когда событие A наступает, а событие B - не наступает, и обозначается A-B.

Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства

1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+(B+C)=(A+B)+C

4) A(B+C)=AB+AC 5) A+Æ=A 6) AÆ=Æ

7) AW=A 8) A+A=A 9) AA=A

10) A+W=W 11) AW=A 12) A+= W

13) A=Æ 14) =A 15) =Æ 16) =W.

Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие Æ можно считать как 0, а достоверное событие W – как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.

Для событий А и В справедливы формулы, называемые соотношениями двойственности, если

.

Определение. Класс событий U образует Алгебру событий, если

1) достоверное событие содержится в этом классе, т. е. WÎ U

2) для любых событий AÎ U,BÎ U из этого класса их сумма и произведение также принадлежат этому классу: ABÎ U, A+BÎ U,

3) если событие A из этого класса AÎ U , то и противоположное событие также принадлежит этому классу: АÎ U.

Пример 1.7. Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий W состоит из четырех элементов

W= {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.

Здесь Г означает, что монета выпала гербом вверх, а Ц – цифрой вверх.

Построим все подмножества пространства элементарных событий W:

Æ , ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ}, {ГГ, ЦЦ}, { ГЦ, ЦГ }

{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ}, {ГГ, ГЦ, ЦЦ }, {ГГ, ЦГ, ЦЦ },

{ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }=W.

Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.

Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.

Определение. Алгебра событий U образует S-алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий Ai Из s-алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат s-алгебре

Î U, Î U.

Если задано пространство элементарных событий W и s-алгебра событий U, То говорят, что задано Измеримое пространство { W, U }.

В случае произвольного пространства элементарных событий W, Событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий W, которые образуют s-алгебру событий U. Все остальные подмножества W, не входящие в s-алгебру событий U, событиями не являются.

Вопросы для самопроверки

1. При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?

2. Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?

3. Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).