1.2. Вероятности случайных событий. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности

Печать

Заметим, что всякое событие есть некоторое высказывание о результатах рассматриваемого эксперимента. При многократном проведении опыта с соблюдением некоторого комплекса условий S возможны различные исходы:

1) в каждом из опытов можно наблюдать один и тот же результат;

2) ни в одном из опытов интересующий результат не появился;

3) в ряде опытов интересующий результат можно было наблюдать, а в оставшихся опытах этого не происходило.

В первом случае говорят, что происходит Достоверное событие.

Во втором случае наблюдается Невозможное Событие.

В третьем случае говорят, что происходит Случайное Событие.

Однако случайность события по отношению к комплексу условий S Не означает отсутствия всякой закономерной связи между ними.

Будем обозначать случайные события большими латинскими буквами: A, B, C, D, F и т. д.

Допустим, что производится серия из N Одинаковых опытов. В каждом из

Опытов интересующее событие, назовем его А, может произойти или не произойти. В результате наблюдений за опытами замечено, что событие А появилось M раз, обозначим как M(А).

Определение. Частотой События А (относительной частотой) называется величина, равная отношению числа опытов, в которых событие А произошло, ко всей серии опытов, т. е. .

Экспериментально установлено, что для многих опытов, в которых рассматривается появление случайного события А, имеет место Закон устойчивости относительных частот: если при неограниченном увеличении числа опытов N Относительная частота события A колеблется около некоторого числа P(A), то число P(A) называют Вероятностью события A, а само это свойство называют законом устойчивости относительных частот.

Из определения видно, что частота имеет свойства:

1) mN (W)=1;

2) mN (Ø)=0;

3) 0 =< mN (A) <= 1;

4) mN (A+B)= mN (A)+mN (B) , если события несовместны, т. е. такие, которые не могут происходить вместе.

Из закона устойчивости относительных частот следует, что Вероятность события является в некотором смысле пределом относительной частоты этого события. Поэтому свойства относительной частоты событий можно перенести

В качестве Аксиом на вероятность этих событий.

1) P (W) =1 - Вероятность достоверного события равна 1;

2) P (Ø) = 0 - Вероятность невозможного события равна 0;

3) 0 =< P(A) = < 1 - это означает, что Вероятность любого события не может быть Меньше 0 и больше 1.

4) Аксиома конечной аддитивности: Если события A И B Несовместны, То

P (A+B)= p (A)+p (B) .

На основании этих аксиом можно получить формулу для Классического определения ВЕроятности:

Р (А) = M / N, (1.1)

Т. е. Вероятность любого события есть величина, равная Отношению Числа M опытов (исходов), в которых событие А произошло, К Общему числу проводимых опытов N, причем возможность появления каждого из элементов одинакова.

Пример 1.8. В ящике находятся 15 хороших деталей и 10 бракованных.

Найти вероятность того, что при изъятии одной детали из ящика, она окажется бракованной (обозначим как событие А).

Решение. Общее число деталей в ящике N = 15+10=25. Число исходов, соответствующих тому, что выбрана бракованная деталь, M = 10. Следовательно, вероятность того, что будет вынута бракованная деталь, равна

Р(А) = M / N = 10/25= 2/3.