2.2.4. Биномиальное распределение

Печать

Биномиальное распределение служит вероятностной моделью для многих явлений. Рассмотрим последовательность N Независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых может произойти один из двух исходов. Обозначим через P вероятность «успеха» в отдельном испытании и - Q вероятность «неудачи». Для каждого отдельного испытания I введем случайную величину , которая может принимать два значения: 1, если испытание закончилось «успехом» и 0, если – «неудачей». Случайная величина η - число «успехов» при N независимых испытаниях в схеме Бернулли будет равна сумме независимых случайных величин , т. е. . (2.37)

Отсюда следует, что случайная величина η может принимать возможные значения M=0,2,…,N. Вероятность того, что случайная величина η после завершения всех испытаний примет значение M Можно найти по формуле Бернулли

P (η =M) = , M=0, 1, … ,N. (2.38)

Определение. Случайная величина η имеет Биномиальное распределение с параметрами N И P, если она принимает значения, M=0, 1,…, N с вероятностями по формулам (2.38).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Из формулы (2.20) и свойств математического ожидания и дисперсии для суммы несовместных случайных

Величин следует, что

,

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут соответственно равны

M(xi)=1P+0Q=p,

D(xi)=12 p+02 q – p2=pq.

Для случайной величины η, имеющей Биномиальное распределение с параметрами N И P, математическое ожидание и дисперсия имеют вид:

M(η)=Np, D(η)=Npq.

Пример 2.9. В коробке находятся 3 однотипных изделия, при этом каждое может быть или бракованным, или стандартным. Рассмотрим случайную величину, которая определяет число бракованных изделий в коробке. «Успехом» отдельного испытания будем считать наличие в коробке некоторого числа бракованных изделий. Тогда случайная величина x может принять значения X1=0, X2=1, X3=2, X4=3 (варианты количества бракованных изделий) и имеет биномиальное распределение. Требуется найти вероятности событий, которые будут соответствовать значениям случайной величины. Последовательно при I=0, 1, 2, 3 из формулы (2.38) получим вероятности для возможных значений этой случайной величины:

P1=P(x=0)= ; P2 =P(x=1)= ;

P3 =P(x=2) = ; P4 =P(x=3) = .

Теперь можно записать таблицу для ряда распределения:

X

0

1

2

3

Pi

Q3

3Pq2

3P2Q

P3

Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (2.21) и (2.23) соответственно

M(x)=3P, D(x)=3 P q .