Интервал

Печать

Zj

1

0;0.619

0

2

0.619; 0.708

5

3

0.708; 0.963

10

4

0.963; 1.000

15

Z=0 Z=5 Z=10 Z=15

Рис. 5.7

 
0 0.619 0.70 0.963 1.0 ri

Замечание. Поскольку в табл. 5.4 даны только 2 знака мантиссы, значения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой.

Приступая к моделированию h, возьмем первое число из табл. Д Приложения. Для того, чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с 9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, R1 = 0.67, оно принадлежит второму интервалу , поэтому Х1 = 5. Таким образом, найдена стоимость ремонта первого прибора. Аналогично моделируются стоимости остальных приборов. Далее случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строкам влево или вправо. Второе число 43, т. е. R2 = 0.43, оно из интервала , поэтому Х2=0. Сведем процесс нахождения реализаций h в табл. 5.5.

Таблица 5.5

J

Rj

Интервал

Zj

J

Rj

Интервал

Zj

1

0.67

0.619;0.708

5

13

0.35

0;0.619

0

2

0.43

0;0.619

0

14

0.98

0.965;1.000

15

3

0.97

0.963;1.000

15

15

0.95

0.708;0.963

10

4

0.04

0;0.619

0

16

0.11

0;0.619

0

5

0.43

0;0.619

0

17

0.68

0.6194;0.708

5

6

0.62

0.619;0.708

5

18

0.77

0.708;0.963

10

7

0.76

0.705;0.963

10

19

0.12

0;0.619

0

8

0.59

0;0.619

0

20

0.17

0;0.619

0

9

0.63

0.619;0.708

5

21

0.17

0;0.619

0

10

0.57

0;0.619

0

22

0.68

0.619;0.708

5

11

0.33

0;0.619

0

23

0.33

0;0.619

0

12

0.21

0;0.619

0

24

0.73

0.708;0.963

10

25

0.79

0.708;0.963

10

Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты Mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т. е. числу появлений значений Хj, вычислим их относительные частоты, т. е. оценки вероятностей Р = , и занесем результаты в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Xi

0

5

10

15

S

Mi

13

5

5

2

25

Р

0.52

0.20

0.20

0.08

1.00

Найдем экспериментальную функцию распределения F*(Х)= :

F*(Х)=.

Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 5.8). Для наглядности сравнения теоретической и экспериментальной кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые.

Рис. 5.8

2. Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами:

, (5.8)

Где K – число различных значений случайной величины;

(5.9)

Или

. (5.10)

Поскольку формулы (5.9) и (5.10) дают смещенную оценку дисперсии, несмещенную оценку найдем по формуле

. (5.11)

Замечание. При больших значениях N коэффициент очень близок к единице, и можно считать оценку, вычисленную по формулам (5.9) или (5.10), оценкой несмещенной дисперсии.

Вычисления запишем в табл. 5.7.

Таблица 5.7

Xi

0

5

10

15

S

P

0.52

0.20

0.20

0.08

1.00

0

1.00

2.00

1.20

4.20

= M*

0

5.00

20.00

18.00

43.00

17.64

25.36

,

.

Сравнив полученные результаты с теоретическими (см. пример 5.5), видим, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины (например в два раза).

3. Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F * (Х) заданному закону распределения F(X), используя критерий Пирсона.

Для этого определяется случайная величина

,

Где K – число значений случайной величины;

Mi – число появлений значений случайной величины h;

Pi – теоретическая вероятность значения;

N – объем моделируемой выборки (Npi – ожидаемое число появлений значения ХI при N реализациях случайной величины). Величина c2, называемая “хи-квадрат”, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения.

В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как R = K – - 1, где K – число значений слу-чайной величины, – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений.

Введем понятие «критическое значение» C = следующим образом:

Если при проверяемой гипотезе вероятность события {χ2.>C} мала, Р(χ2.>С) = a, то С Называется «критическим значением», а a – «уровнем значимости» критерия χ2. Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают a = 0.01 или a = 0.05, т. е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в табл. С Приложения А.

В рассматриваемой задаче число K = 4, поэтому число степеней свободы

= 4 - 1 = 3. По указанной таблице найдем критические числа С1 (для a1 = 0.01) и С2 (для a2 = 0.05): ими будут С1 = 11,3 и С2 = 7,8.

Найдем значение χ2. Все вычисления выполним в таблице 5.8 (n = 25, значение NpI вычислим с точностью до одного знака после запятой) Таблица 5.8

I

Хi

Mi

Npi

Mi - Npi

1

0

13

15.5

-2.5

0.403

2

5

5

2.2

2.8

3.536

3

10

5

6.4

-1.4

0.306

4

15

2

0.9

1.1

1.344

S

-

25

25.0

0.0

5.617=C2

При уровне значимости a2 = 0.05 событие {χ2 > C2} не произошло (5.617 < 7.8); полученное распределение не противоречит предполагаемому.

При менее жестких требованиях, т. е. при a = 0.01, событие { χ2>C1} тем более не произошло, и в этом случае можно считать, что гипотеза о распределении случайной величины с заданным законом распределения не противоречит смоделированным значениям случайной величины.

Пример 5.11. Из выборки в 15 элементов нормальной генеральной совокупности найдены оценки математического ожидания = -1.5 и несмещенной дисперсии S2= 1.21. Найти точность оценки математического ожидания и доверительный интервал, соответствующие доверительной вероятности b = 0.98.

Определить эти же величины для выборки в 40 элементов, если оценки оказались такими же.

Решение. Истинные математическое ожидание M и дисперсия 2 данного нормального распределения не известны, поэтому воспользуемся формулами E = TB и*IB = (M*- e; M* + e) = ,

где *E – предельная ошибка,

IB – доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности b,

*TB – значения квантиля распределения Стьюдента для числа степеней свободы K = n-1.

В данной задаче число степеней свободы K = 14, а доверительная вероятность b = 0,98. По таблице А Приложения значение квантилей распределения Стьюдента находится tb=2,62449. Тогда предельная ошибка e=2.62449И доверительный интервал I0.98 =(-1.5-0.75;-1.5+0.75) =

=(-2.25; -0.75). Полученный результат позволяет утверждать, что с вероятностью 0.98 математическое ожидание рассматриваемой случайной величины принадлежит интервалу (-2.25;-0.75).

При выборке 40 элементов в связи с тем, что с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, воспользуемся формулами eZb для вычисления предельной ошибки оценки математического ожидания и IB = (M* - e; M* + e) =

= (M*-ZB; m*+ZB) для вычисления доверительного интервала.

В этих формулах ZB находится как корень уравнения Ф(ZB) = по таблице значений нормированной функции распределения нормального закона (табл. В Приложения). ZB называется квантилью порядка нормированного нормального распределения.

Вычислив = = 0.99, входим с этим значением функции в табл. В Приложения и находим её аргумент, равный 2,327.

Таким образом, точность оценки e=, а доверительный интервал I0.98 = (-1.5–0.405; -1.5+0.405) = (-1.905; -1.045).

Заметим, что увеличение объема выборки существенно сузило доверительный интервал.