5.2. Случайные величины

Печать

Перед решением задач по этой теме следует усвоить основные понятия, связанные со случайными величинами: дискретные и непрерывные случайные величины, законы их распределения; изучить примеры распределений; оценить роль числовых характеристик случайных величин.

Кроме того, следует разобрать приведенные ниже примеры 5.5 – 5.8.

Пример 5.5. Прибор состоит из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых собран из нескольких независимых элементов (рис.5.1), вероятности отказов которых

Р1 = р2 = 0.2, Р3 = р4 = р7 = 0.3; Р5 = р6 = 0.25, Р8 = 0.278.

овал: 1 овал: 3
 

овал: 6овал: 8

овал: 2 овал: 4
 

овал: 7А В

Рис.5.1

При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А равна С1 = 5 единицам стоимости, блока В – С2 = 10 единицам. Предполагается, что за определенный период времени Т ни один блок не потребует повторной замены.

Найти случайную величину h – стоимость восстановления прибора за период времени Т:

1) построить ряд и функцию распределения,

2) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,

3) построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Решение.

1. Определим значения случайной величины h, которая является дискретной. Случайная величина h «стоимость ремонта» может принимать только четыре значения:

Х1 = 0 – ни один блок не потребует замены;

Х2 = С1 = 5 – только блок А потребует замену;

Х3 = С2 = 10 – только блок В потребует замену;

Х4 = С1 + С2 = 15 – оба блока потребуют замену.

Чтобы вычислить вероятность каждого из значений Хi, следует сначала найти вероятности выхода из строя блоков А и В.

Обозначим А – выход из строя блока А, Ai – отказ I-го элемента (I = 1,2,3,4). Блок А откажет, если откажет хотя бы одна из его частей (первая состоит из элементов 1 и 2, вторая – 3 и 4). Первая часть откажет, если откажут оба элемента, т. е. произойдет событие А1А2, вторая - если произойдет А3 А4. По определению суммы событий

А = А1 А2 + А3 А4.

В силу теоремы сложения вероятностей совместных событий

Р(А) = Р(А1 А2 + А3 А4) = Р(А1 А2) + Р( А3 А4) – Р(А1 А2 А3 А4).

В силу независимости событий Аi, получим

Р(А) = Р(А1) ·Р(А2) + Р(А3)· Р(А4) - Р(А1)·Р(А2)· Р(А3) ·Р(А4) =

= 0.2·0.2 + 0.3·0.3 – 0.2·0.2·0.3·0.3 = 0,1264.

Определим вероятность того, что блок А Не откажет за время Т (событие )

Р() = 1- Р(А) = 1-0,1264 = 0,8736.

Обозначим В – выход из строя блока В, а ВI – отказ I-го элемента (I = 5,6,7,8). Блок В потребует ремонта, если откажут все элементы ветви, состоящей из элементов 5,6 и 7, или элемент 8, а также если откажут все четыре элемента, т. е. событие В Может быть записано следующим образом

В = В5 В6 В7 + В8.

В силу совместности и независимости событий Вi (I = 5,6,7,8) вероятность события В определяется формулой

Р(В) = Р(В5) Р(В6) Р(В7) + Р(В8) - Р(В5) Р(В6) Р(В7) Р(В8).

Таким образом,

Р(В) = Р5р6Р7 + Р8 - Р5Р6Р7Р8 = 0.25·0.25·0.3+ 0.278- 0.25·0.25·0.3 ·0.278=0,2915.

Найдем вероятность безотказной работы блока В:

Р() = 1 – Р(В) = 1 – 0,2915 = 0,7085.

Найдем вероятности значений случайной величины h.

Случайная величина имеет значение Х1 = 0, если произойдет событие ·(оба блока исправны за время Т). События , независимы, поэтому

Р(h=0) = Р()Р() = 0,8736 · 0,7085 = 0,6189

(ограничение при вычислениях в четвертом знаке после запятой).

Значение Х2 = 5 принимается, если отказывает блок А и не отказывает блок В, т. е.

Р(h=5) = Р(А)Р() = 0.1264 · 0.7085 = 0.0896.

Р(h=10) = Р( В), так как должен отказать только блок В, т. е.

Р(h=10) = 0.8736 · 0.2915 = 0.2547. И последнее значение

Р(h=15) = Р(А В) = Р(А)Р(В) = 0.1264 · 0.2915 = 0.0368.

Запишем полученные результаты в табл.5.1, которая и будет являться рядом распределения рассматриваемой случайной величины h.

Таблица 5. 1

Хi

0

5

10

15

S

Рi

0.6189

0.0896

0.2547

0.0368

1.0000

Замечание. Просуммировав все вероятности и получив 1, убедимся, что избежали грубых ошибок при вычислениях.

Построим многоугольник распределения (рис.5.2):

По оси абсцисс откладываем значения случайной величины хi;

По оси ординат значения их вероятностей рi.

рi

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 5 10 15 Хi

Рис. 5.2

Найдем функцию распределения случайной величины, используя соотношение:

F(Х) = .

При X<0 F(X)= 0;

При 0£ X<5 F(X)= P(h=X1)=P1=0.6189;

При 5£X<10 F(X)= P(h=X1) + P(h=X2)=P1+P2=0.7085;

При 10£X<15 F(X)=P(h=X1)+P(h=X2)+ P(h=X3)=P1+P2+P3=0.9632;

При X³15 F(X)= =1.0000.

Таким образом, F(X) =

График функции распределения изображен на рис.5. 3.

Рис. 5.3

Найдем математическое ожидание M[h], дисперсию D[h] и среднее квадратическое отклонение sh исследуемой случайной величины, воспользовавшись формулами:

M[h]= (5.1)

D[h]= (5.2)

Sh= (5.3)

Заметим, что дисперсию удобнее вычислять не по формуле (5.2), а по формуле

= , (5.4)

Которая является одним из свойств дисперсии (“Дисперсия есть разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания”). Все вычисления удобно записать в табл. 5. 2.

Таблица 5. 2

ХI

0

5

10

15

0.6189

0.0896

0.2547

0.0368

1.0000

0

0.4480

2.547

0.5520

3.5470 = M[h]

0

2.2400

25.47

8.2800

35.1900 = M[h2]

12.5812 = (M[h])2

23.4080 = D[h]

Sh= 4.8382

Процесс вычисления достаточно ясен из самой таблицы. Первые две строки – ряд распределения случайной величины. Третья строка – произведение значений случайной величины на их вероятности; сумма в этой строке и даст математическое ожидание случайной величины согласно формуле (5.1). Четвертая строка – произведение квадрата значений случайной величины на их вероятности (достаточно умножить элементы третьей строки на элементы первой); сумма их равна математическому ожиданию квадрата случайной величины. Вычитая из этой величины квадрат математического ожидания, получим дисперсию, извлекая корень квадратный из которой найдем величину, равную среднему квадратическому отклонению.

Итак, случайная величина “стоимость ремонта” имеет среднее значение 3,547 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 4,8382.

Пример 5.6. Плотность вероятности случайной величины

F(X)=

Показать, что предложенная функция может быть плотностью вероятности некоторой случайной величины h. Найти её функцию распределения F(X), математическое ожидание M[h], дисперсию D[h], среднее квадратическое отклонение sh и вероятность попадания случайной величины в интервал [1,3]. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

Решение. Покажем, что данная F(х) Может быть плотностью вероятности.

Действительно, прежде всего, F(х) ³0. Проверим выполнение свойства


Следовательно, предложенную функцию можно рассматривать как плотность вероятности.

Найдем функцию распределения F(X) из соотношения

F(X)= .

Для ХÎ (-∞;0) F(X)= ,

Для ХÎ [0;5] F(X)=

Для ХÎ (5;+∞) F(X)= .

Окончательно: F(X)=

Построим графики плотности вероятности и функции распределения (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

M[h]=

Для вычисления D[h], воспользуемся её свойством

D[h]=M[h2] - (M[h])2 =

=

Cреднее квадратическое отклонение

Sh==.

Вероятность попадания в интервал [1,3] можно вычислить любым из двух способов, используя либо плотность вероятности, либо функцию распределения.

В первом случае

P(1£h£3) = .

Во втором случае –

P(1£h£3) = F(3)- F(1)= 0.04×32- 0.04×12=0.32.

Пример 5.7. Функция распределения случайной величины h

F(X)=

Показать, что эта функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины; найти её плотность вероятности F(X), математическое ожидание M[h], дисперсию D[h], среднее квадратическое отклонение sh, построить графики функции распределения и плотности вероятности; найти вероятность попадания в интервал .

Решение. Чтобы F(X) могла быть функцией распределения непрерывной случайной величины она, во-первых, должна быть определена на всей числовой оси. Действительно, F(X) определена на интервалах , и в точках границ интервалов односторонние пределы функции равны её значениям. Во-вторых, её область значений должна быть [0;1]. Действительно, все значения F(X) принадлежат интервалу [0,1], (0Так как sin xÎ [-1;1]).

И, наконец, F(X)=0, F(X)=1.

Из всего сказанного следует, что предложенная функция может быть функцией распределения непрерывной случайной величины.

Плотность вероятности найдем из соотношения F(X)=F¢(x). Заметим, что F(X) задана разными выражениями в области её определения, следовательно, и F(X) также будет описана разными выражениями на этих интервалах

F(x) =

Построим графики F(X) и F(X) (рис.5.5)

Рис.5.5

Найдем математическое ожидание:

M[h]= .

Найдем дисперсию:

D[h]=

=

=

Среднее квадратическое отклонение

* h==

Вероятность попадания в интервал

P

Пример 5.8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

F(X)= .

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение.

1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности F(X) = . Приведем заданную функцию к стандартному виду:

F(X)= =.

Отсюда следует, что M = -1.5; σ = 0.5. Известно, что параметр M – математическое ожидание M[h], а σ - среднее квадратическое отклонение σ h. Следовательно, M[h] = -1.5, σ h=0.5, D [h] = =0.25.

2. Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1]. По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал

,

Где F(X) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределения F(X) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(Х) формулой:

F(X)= Ф. (5.5)

Функция Ф(Х) табулирована (см. табл. В Приложения).

Таким образом,

Р. (5.6)

Для решаемой задачи:S=0,5 т. е.

Учитывая, что Ф(-Х)=1- Ф(Х), и найдя в табл. В Приложения Ф(1)=0.8413, получим

Р(£h<-1)=2Ф(1)-1=0,6826.

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 5.6 штриховая линия 1), т. е.. Затем сожмем её по оси ординат и растянем по оси абсцисс в σ раз (т. е. максимум увеличится в два раза). Получим пунктирную линию 2. И, наконец, сдвинем по оси абсцисс на величину m влево, т. е. в данном случае максимум графика будет в точке Х=-1,5. Окончательный результат на рисунке изображен сплошной линией.

Рис. 5.6.

Пример 5.9. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону,

Если P{X>60}=0,98 и P{X<90}=0,84.

Решение. Для определения искомых числовых характеристик следует найти параметры распределения предлагаемой случайной величины, так как для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с параметром M, а среднее квадратическое отклонение с параметром σ. Для этого воспользуемся формулой, выражающей вероятность попадания случайной величины в данные в условиях интервалы через функцию распределения. Преобразуем задания в условии задачи равенства:

Из P{X>60}= 0,98 получим Р{Х£60} = 1- Р(Х>60) = 1-0,98. Отсюда

P{X£60}=0,02.

По формуле (5.5) преобразуем левую часть, получим

F(60)= Ф()= 0,02.

Теперь по таблицам Ф(Х) (табл. В Приложения) необходимо найти значение Х, при котором Ф(Х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает, что искомое значение – отрицательное. Используя формулу

Ф(-Х)= 1-Ф(Х), (5.7)

Можно записать

Ф()= 1-Ф()= 0,02,

Т. е. Ф()= 0,98.

По табл. В Приложения находим, что Ф(Х)= 0,98 соответствует значению Х=2,056, т. е. = 2,056.

Таким образом, M-2.056=60.

Из второго условия следует P{X<90}=F(90)=Ф(= 0,84 ; по табл. В Приложения находим аргумент для значения функции 0,84 и получаем =0,995 , отсюда M+0,995 σ =90. Таким образом получаем систему уравнений относительно параметров и σ:

Находим из системы искомые параметры: 3,051 σ =30, σ @9,83, M=60+2,05×9,83 @ 80,15.

Итак, M[x ]=80,15, а σ =9,83.