1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится N раз, т. е. проводится последовательность из N испытаний.

Определение. Последовательность N Испытаний называют Взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью P в результате одного испытания или не произойти с вероятностью Q=1-P.

Определение. Последовательность из N Испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

1) последовательность N испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в N испытаниях произошло ровно M “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

P() = , M = 1, 2, …, N , (1.6)

где - число сочетаний из N элементов по M :

= = .

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

А) Общее число испытаний – N =3, число “успехов” – M = 2. Вероятность “успеха” - P=, а вероятность “неудачи” - Q= 1 - = . Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

Б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде Суммы трех несовместных событий А= ,

Где В30 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В31 - событие, когда интересующая грань появится один раз,

В32 - событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

P(А) = р () = P()=++=

=.

< Предыдущая		Следующая >