3.1. Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций

Определение 1. Функция называется Непрерывной в точке , если она определена в точке и существует предел .

Теорема 1. Для того чтобы функция имела конечный предел в точке необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Необходимость. Пусть , тогда имеем . Полагая имеем , т. е. , следовательно, функция непрерывна.

Достаточность. Пусть . Тогда, полагая , получим , т. е. .

Замечание. По определению в точке функция не является непрерывной.

Определение 2. Функция называется Непрерывной слева (Справа) в точке , если

.

Теорема 2. Для того чтобы функция была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

.

Пример. Функция

Непрерывна в точке , т. к.

Имеют место равенства .

Свойства непрерывных функций аналогичные свойствам пределов функций. Следует только значения пределов и функций и в точке заменить значениями и . Доказательства этих свойств проводится аналогично как для пределов функций.

Формы записи непрерывности:

1. По определению
2. По Гейне
3. По Коши
4. В терминах приращений

Последнее определение следует из первого

,

Где - называется Приращением функции в точке , - Приращением аргумента в точке .

Теорема 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках определения этих функций.

В качестве примера рассмотрим только две элементарные функции. Так, функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки , т. к. имеем

.

Функция непрерывна на всей числовой оси, т. к. имеем

.

Аналогично доказывается непрерывность остальных элемен-тарных функций.

< Предыдущая		Следующая >